A4 纸，谋杀案和囊括宇宙的数字
<p><strong>A4 纸为啥是这个尺寸？</strong></p><p>今天的故事从身边的 A4 纸开始讲起。</p>
<p>前一阵网络上流行晒「A4 腰」，在这个标准下，腰部宽度不能超过多少呢？</p>
<p></p><p>搜索一下就能知道，A4 纸的尺寸是 210*297 毫米，也就是想达到 A4 腰，那么正面看腰部的宽度不能超过 210 毫米。</p>
<p>A4 纸每天都出现在我们身边，那么你有没有想过，为什么它是 210*297 这个尺寸呢？</p>
<p>「随便定的呗？」也许你会想。</p>
<p>随便定可不行，可以说 A4 纸的尺寸在某种程度上决定了现代印刷业的标准，从书籍的尺寸，到打印机的尺寸，都必须遵循一个全球通用的标准才行。工业时代的一大特征，就是标准化。</p>
<p>德国人在 19 世纪 20 年代创建了自己的工业标准体系——德国工业标准比例（DIN），这一标准很快被推行到全世界，被纳入国际标准化组织的 ISO216。在这个标准中，纸张的尺寸被定义为 A、B、C 三个系列。我们最常见的 A4 纸就是属于 A 系列的。</p>
<p>纸张的生产，必然是先加工一张大纸，然后通过对折裁切，形成更小号的纸张。A4 纸名称中这个阿拉伯数字「4」，就表示它是由 A 系列最大的纸张对折裁切 4 次而来的。这 A 系列最大的纸张，就是 A0 纸。A1 纸是 A0 纸的一半，A2 纸是 A1 纸的一半，以此类推。</p>
<p></p><p>好，我们知道了 A4 纸的尺寸是由 A0 纸确定的，但问题还没有解决，为什么 A0 纸是 841*1189 毫米这样的尺寸呢？</p>
<p>首先，纸张有一个重要的指标，叫做克数。我们去图文店打印的时候，对方会问我们选用多少克的纸张。我们知道这个克数代表了纸张的厚度，但因为实际中纸张的厚度很难测量，所以国际标准中换了一个方式来表达。这个纸张的克数指的就是「1 平方米的纸张的重量」。</p>
<p>为了方便把这个「1 平方米的纸张的重量」定量，最好的方式就是 A0 的纸面积恰好是 1 平方米，这样生产出来就可以直接测量了。</p>
<p>最大纸张的面积确定了，剩下的就是要确定它的边长了。我们看到现在 A0 纸的尺寸是 841*1189 毫米，这两个数字的乘积是 999.949，很接近但不是精确的 1 平方米。</p>
<p>看上去这个尺寸很别扭，不好记又不凑整，如果让你来定义一张 1 平方米的纸张的边长，你会怎么定义呢？</p>
<p>也许你首先会想到，那就干脆定为 1000*1000 毫米不就好啦！</p>
<p>好，我们就按照这个思路来确定纸张的尺寸，看看会不会出现什么问题。</p>
<p>上面说了，更小的纸张是由更大的纸张对折裁切一半而来的（这样浪费最少），那么我们把这张 1000*1000 毫米的 A0 纸对折，得到的 A1 纸的尺寸就是 1000*500 毫米，再对折得到的 A2 纸尺寸就是 500*500 毫米，以此类推。</p>
<p></p><p>这样的纸张规格虽然在生产上没有问题，但在实际的使用中就会出现一系列的问题。</p>
<p>比如我们在 A3 纸上排好了一篇图文，想要把它等比例缩小到 A4 纸的时候，要么会留出很大的白边，要么就会拉伸图像。</p>
<p></p><p>这两种情况都不是我们想要的，我们需要纸张被裁切一半之后，长宽比仍然和原来一样。看到这儿你可以停一下问问自己，这个问题怎么解决？</p>
<p>其实这是一个小学数学就能解决的问题。</p>
<p>我们假设我们想要的这种纸张的长边是 a，短边是 b，裁切一半后的小长方形的长边变成了 b，短边变成了 a/2，就是下面的这个长方形。</p>
<p><img alt="" src="http://image104.360doc.com/DownloadImg/2017/03/1518/93974364_5.png"></p>
<p>我们希望的结果是大小两个长方形的长短边比例一样，也就是：</p>
<p>a/b=2b/a。</p>
<p>方程两边都乘以 ab，得到：</p>
<p>a2=2b2</p>
<p>再变换一下得到：</p>
<p>(a/b)2=2</p>
<p>好，我们拿到了这样一个结果，长方形的长边和短边的比值是一个数字，这个数字的平方等于 2。</p>
<p>生活在现代的我们知道，这个数字是√2，用计算器就可以算出来，它的数值是 1.4142135623731……</p>
<p>再来看看我们的纸张尺寸，从 A0 纸的 841*1189 毫米，到 A4 纸的 210*297 毫米，都是非常接近于 1.414 这个比例的。</p>
<p>这个比例非常好的解决了上述任意比例纸张的问题。画在 A4 纸上的图画可以等比例放大到 A0 海报上；手边只要有某一款 A 系列的纸，即能做出任意大小的 A 系列。</p>
<p>当然，√2：1 这个比例值是一个无限不循环小数，实际生产中人们只能取它的近似值。相信你刚刚读到这个√2 的时候，也没有觉得它有什么神秘，想去深挖它究竟是个什么东西。</p>
<p>而实际上，我们刚刚放出来的，是一个十足的魔鬼，它的出现在历史上掀起了一场轩然大波，还有人在这场风波中为之丧命。</p>
<p>如果你坚持看到这里还觉得有点无聊，那么恭喜你，好戏即将开始。</p>
<p><strong>2.第一次数学危机</strong></p>
<p>公元前 500 年，有一位牛人，叫毕达哥拉斯。如果你对这位牛人有点儿陌生，那你一定知道「毕达哥拉斯」定理，那就是「直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方」。</p>
<p>在我国，这个定理就是著名的勾股定理。</p>
<p>在毕达哥拉斯的时代，这个定理还有个有趣的名字，叫做「百牛定理」。原因是毕达哥拉斯发现并证明这个定理的时候太兴奋了，传说杀了 100 头牛来祭祀神明，感谢神明赐给他的灵感。</p>
<p>这位牛人创办了一个数学学派，叫做毕达哥拉斯学派。你可别认为这个学派和现在的什么后现代美术学派是一回事，毕达哥拉斯学派在当时那基本就是个宗教。</p>
<p>比如这个学派中有「不允许吃豆子」、「不允许用铁拨弄火」等奇怪的规定，毕达哥拉斯本人作为「教主」，称呼自己创办的学派为「教团」，他给学生们讲课的时候身穿白色法衣，头顶金冠站在法坛上。</p>
<p>哲学家赫拉克利特这样评价他：「毕达哥拉斯读了大量的书，亲自创造出智慧、博识与妖术。」</p>
<p>那么这个「毕达哥拉斯教团」信奉的神灵是什么呢？——别笑，他们信数字。</p>
<p>教团相信，整数像原子一样，构成了宇宙中的一切，并描述宇宙中的一切。宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没有什么了。</p>
<p>也许你会觉得这种想法很幼稚，但听听下面的描述，也许你会觉得毕达哥拉斯说的很有道理。</p>
<p>我们问一个问题：整数，以及两个整数相除的分数，可以占满整个数轴吗？</p>
<p>我们先从整数（也就是分母为 1 的分数开始），把这些数字扔到数轴上。</p>
<p>嗯，有一些空隙，没填满。那我们再把所有分母为 2 的数字（上面数字的一半）插进去。</p>
<p>然后再插入分母为 4 的数字：</p>
<p>随着分母的不断增大，我们插入的数字会越来越多，插到数轴上的点将会越来越密集。任意给出一小段长度，比如 1/1000，那么我们可以找出 1/10000 这样小的数字插进去。</p>
<p>无论多么小的两个分数之间，我们都能插入分母都更大的数字插进去（也就是更精确的整数比值），比如 1/7 和 2/7 之间，我们想要一个更精确的数，那么可以把 3/14 插进去。</p>
<p>于是毕达哥拉斯学派认为「组成和描述世界的，只有整数和整数之比」这个观点，你是不是觉得也很有道理？</p>
<p>然而，这个观点是错的，而且错的很远很远。</p>
<p>毕达戈拉斯有一个学生，叫希勃索斯。这个哥们勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他跑到毕达哥拉斯面前问他：「边长为 1 的正方形，其对角线的长是多少呢？」</p>
<p>毕达哥拉斯听到这个问题就愣了，根据他证明的定理，边长为 1 的正方形的对角线长度的平方应该等于 2（即 12+12），那么什么数字的平方等于 2 呢？</p>
<p>毕达哥拉斯寻找了很久都没有找到，他希望能找到两个很大很大的数字相除，结果等于这个数字。但无论找到的分数的分子和分母多大，这个比值都只能很接近，却不能精确地等于 2 开平方（当时还没有√2 这种表达方式）。</p>
<p>也许你会想，数字要多大有多大，现在找不到，不代表以后找不到，也许有某两个 100 亿位的数字相除，结果正好等于 2 开平方呢？</p>
<p>答案是没有。不需要一直找下去，就可以直接证明，√2 不是任何两个整数之比。如果你有兴趣可以看看下面这段证明，不感兴趣的话跳过去也不影响阅读。</p>
<blockquote>反证法：<br><br>假设√2=p/q，<br><br>p、q 为互质的正整数<br><br>（两个正整数,除了 1 以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数，非互质的两个数相除，可以消去公约数而成为更小的分数，比如 2/4 可以消掉公约数 2 变成 1/2）<br><br>两边平方：2=p2/q2<br><br>p2=2q2 ——（1）<br><br>2q2显然为偶数,所以 p2也是偶数，所以 p 必为偶数<br><br>设 p=2k（k 为正整数）<br><br>则（1）式变为：4k2=2q2<br><br>q2=2k2<br><br>同理得 q 也为偶数<br><br>两个偶数必有一个公约数 2<br><br>与题设的 p、q 互质矛盾<br><br>故不存在互质的正整数 p 和 q 构成一个等于√2 的分数</blockquote>
<p>希勃索斯的这个发现，从根本上动摇了毕达哥拉斯神教的立教之本。毕达戈拉斯无法解释这种“怪” 现象，他惊骇极了，整个学派的理论体系将面临崩溃。忐忑不安下，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。</p>
<p>希勃索斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，但在事实面前，他认为根号 2 是客观存在的，老师的理论体系无法解释它，这说明老师的理论有问题。</p>
<p>后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。决定对希勃索斯施加加惩罚。后者听到风声后，连夜乘船逃走。然而，就在他所乘坐的海船的后面追来了几艘小船，当他还未醒悟过来的时候，毕达戈拉斯学派的打手已出现在他的面前，他手脚被绑后，投入到了浩瀚无边的大海之中。这位年轻的数学家就这样为了知识献出了生命。</p>
<p>后来的人们把希勃索斯发现的这种数称之为无理数，之前毕达哥拉斯所认为是宇宙全部的数（整数和两个整数至比），称为有理数。</p>
<p>实际上这两个称呼的翻译是错误的，有理数来自于单词「rational number」, 词根 ratio 意思除了「合理」之外，还有一个含义是「比率」，所以更准切的翻译是「可被比例描述的数」和「不可被比例描述的数」。只不过叫习惯了，也就没必要改了。</p>
<p>后来的人们又证明，不仅存在着无理数，而且无理数的数量远远多于有理数。上述不断增大分母插入分数的方法，无论进行到多少，数轴上都有着数不清的「缝隙」，被无理数填满。</p>
<p>在 0 和 1 之间随便插一根针，你有几乎是 100%的概率得到一个无理数。这个证明有点儿复杂，我放到最后的推荐书目里。</p>
<p>无理数的发现和芝诺关于无限的四大悖论，共同掀起了第一次数学危机。这又是另一个庞大的故事了。</p>
<p><strong>3.细思极恐的无理数</strong></p>
<p>现在回头看看，A4 纸里面藏着的√2，是不是一个十足的魔鬼？</p>
<p>那么这个√2 到底是个什么东西呢？前面我们说到，用越来越小的分数，可以把数轴填的无限满，似乎在直觉上，无论我们把数轴放大多少倍，总能有一个分数插入到更小的区域中去。但无论我们插入的数有多精确，小数点之后有多少位，它都只能够「接近」√2，而我们却永远不知道它的精确值。</p>
<p>我们先来说说，这个√2 到底等于多少？</p>
<p>如果我们去买布，肯定不能和店员说，给我√2 米的布，人家没法给你量。我们知道√2 的数值近似等于 1.414，但这个数值还远远不够精确。</p>
<p>希勃索斯发现的「边长为 1 的正方形对角线等于√2」这个方法也不行，即便你可以毫无误差地画一个边长为 1 米的正方形，也无法精确地测量出对角线的长度。</p>
<p>最早的计算方法是这样的，我们一个数位一个数位地来不断接近它。</p>
<blockquote>首先，我们知道 1<2<4，所以 1<√2<2，这就确定了第一位 1。<br><br>然后我们依次计算(1.1)2、(1.2)2、(1.3)2，得到<br><br>(1.4)2=1.96<2<br><br>(1.5)2=2.25>2<br><br>我们又得到√2 是介于 1.4 和 1.5 之间的数，这第二位 4 也就确定了。</blockquote>
<p>用这种笨办法，我们可以一位接一位永远算下去。</p>
<p>随着数学的不断发展，人们发明了各种方法来计算√2 的数值，其中最简洁的表达是这个无穷无尽的连除式：</p>
<p></p><p>√2 的小数位，是无限不循环小数。可以用数学工具证明，所有的分数要么是有限位的小数，要么是循环小数；而所有的无理数，都一定是无限不循环小数。</p>
<p>这个「无限且不循环」又是什么呢？细细想想，这种数真的很怪异。</p>
<p>在几何上，它有一个确定的长度，在数轴上有一个非常确定的位置。如下图，以边长为 1 的正方形的对角线为半径画一个圆，圆与数轴的交点就是√2。</p>
<p></p><p>然而，当我们想把它数出来的时候，它就无止境地向远方跑，使我们无法掌握它。既然缺乏准确性，又能么能叫做数呢？</p>
<p>这个在公元前就被放出来的魔鬼，虽然在两千多年来一直被全世界的人们使用，却又让人们一直在逻辑上无法接受它的存在。甚至有很多人人为，是我们基于整数的整个数学体系出了问题。</p>
<p>有很多人（比如东方的数学家和欧几里得学派的几何学家）则是完全从实用的角度出发，不管什么意义，只要它存在，就拿来使用。</p>
<p>无理数之谜直到十九世纪中叶，数学界发展对微积分和连续性的研究，才慢慢解开。此时的数学，已经离人们的直觉越来越远。这个故事若讲起来就很长了。</p>
<p>简单来说，人们在积分中引入了「连续」的概念，与上面提到的「不断增加分母的大小插入分数」的理念是很不同的。后者无论进行到多精密，都是把数轴看作一个个珠子串起来的项链（尽管珠子可以非常小），而「连续」的理念则是认为数轴是无需放大从本质上就是没有缝隙的。</p>
<p>由珠子串起来的项链，在用一把非常锋利的刀砍下去的时候，会有可能砍空。比如我们把所有负有理数和平方不超过 2 的正有理数看作左半段，把所有平方超过 2 的正有理数看作右半段，如果数轴上只有有理数，那用到砍在这两半之间就会砍个空。谁填补在这里呢？就是我们的老朋友√2。</p>
<p><strong>4.更怪异的超越数</strong></p>
<p>电影和漫画中经常有这样的桥段：当主人公费了九牛二虎之力终于战胜了 BOSS 之后，却发现在他的背后还有更大的 BOSS 存在。</p>
<p>在人们使用微积分工具，终于找到了无理数的存在意义并真正理解它的时候，又一头怪兽被放了出来。</p>
<p>现在的我们都知道圆的周长与直径之比π≈3.1415926，也知道它是个无限不循环小数，即无理数。</p>
<p>然而，人们对π的理解，却比√2 慢得多。</p>
<p>从π出现到确定它是无理数，人类花了三千年的时间。</p>
<p>公元前 1650 年，埃及人用（16/9）2≈3.16 来近似π的值。</p>
<p>公元前 300 多年，阿基米德用 22/7≈3.14 来近似π值。</p>
<p>前面我们提到了√2 的笨算法，所以古人可以很容易地推算它的数值。两千多年前人们就能把它算的很精确。而把π值从 3.14 推进到 3.1416（三国时期中国数学家刘徽）就用了 500 多年的时间。</p>
<p>又过了 200 多年，祖冲之用 355/113 来近似的估计π，将π的精度计算到小数点后 7 位。</p>
<p>π与√2 还有一个很大的不同，后者是方程 x2=2 的解，而在 1882 年，德国的林德曼证明了，π不是任何一个整数系代数方程的根。</p>
<p>好吧，无理数不能用任何两个整数相除来表达，我们好不容易才弄清楚，这又出来一种不仅不能用相除，而且是不能用任何代数方程来表达的数！</p>
<p>人们给了这种数一个更辣眼的名字：超越数。</p>
<p>值得一提的是，东方和西方的数学家都不约而同地使用圆的内切或外切多边形来逼近π的值（不断增加多边形的边数来越来越接近圆）。祖冲之得出的 355/113，要算到 24576 边形！天晓得这位仁兄是怎么算的。</p>
<p></p><p>后来人们发现π可以通过一些数列的极限来表示，比如莱布尼茨公式：</p>
<p>π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……</p>
<p>用这一类的方法，后人又算出了更精确的π值。比如德国的鲁道夫算出小数点后第 35 位。</p>
<p>目前人们根据这些公式编写计算机程序，已经把π的值计算到小数点后 60 万亿位。</p>
<p>然而，这已经没什么实际的测量意义了，即便我们仅仅使用小数点后 40 位的π来计算整个可视宇宙的周长，误差也不会超过一个原子。</p>
<p>那么，人们为什么还要费那么大力来测算π的精确值呢？</p>
<p>因为，数学界有一个巨大的猜想：π，极有可能是一个合取数。</p>
<p>啥？合取数？</p>
<p>我保证这是这篇文章中出现的最后一个 BOSS 了。</p>
<p>在影视剧《疑犯追踪》中，哈罗德·芬奇说了这样一段话：</p>
<blockquote>圆周长与直径之比，无穷无尽，永不重复。在这串数字中，包含每种可能的组合。你的生日、储物柜密码、社保号码，都在其中某处。如果把这些数字转换为字母，就能得到所有的单词，无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节，你心上人的名字，你一辈子从始至终的故事，我们做过或说过的每件事，宇宙中所有无限的可能，都在这个简单的圆中。</blockquote>
<p>这种包含全部数字组合可能的数，就叫做合取数。</p>
<p>在下面这个网站中，储存了 2 亿位的π值。你可以去里面检索任意一段数字串——比如暗恋女孩的生日。都可以检索到它在π的小数点后多少位。</p>
<p>π值检索</p>
<p>即便你检测不到，也不代表它不在π中，别忘了，我们目前已经计算到第 60 万亿位，而后边还有无穷无尽的位数，而这里只储存了 2 亿位。</p>
<p>科普作家卡尔萨根著名的科幻小说《接触》中，就描述到主人公被外星人指引，得到一个新的算法，把π值计算到非常靠后的位置时，得到了规律性的字符串。在进行 11 进制的转换后，主人公得到了可以由 0 和 1 组成的阵列，阵列中 0 和 1 清晰地拼出一个完美的圆。外星人告诉它，这就是宇宙超级文明，或是上帝留给所有宇宙文明的「大消息」。无论你来自哪个星系，是什么样的生物，π这个数值已经被一个设计者根植在这个宇宙的基本量中。π，是设计者留下的签名。</p>
<p>基于π很可能有的合取性，有人半开玩笑地设计了一套文件系统“πfs”，你的所有的数据都很可能存在π的某一个地方，只要找到那个地方就好了。这种方式可以极大的压缩数据。比如把一本书编制成二进制数据，找到这个二进制数据在π中的位置，然后记录下这个位置即可。</p>
<p>当然，这只是个玩笑，不说π尚未被证明是合取数，即便是，你要的数据在π中的位数，也许也是一个比数据本身更大的天文数字呢！</p>
<p><strong>5.两本书</strong></p>
<p>人们从基本的计数需要发明了整数，然后由于分配的需要发明了分数，又由于记账的需求发明了负数。从√2 的发现的时候起，人们开始逐渐脱离直觉，正式进入正式的抽象数学领域。以至于后来出现的虚数、极限、微分和积分，仿佛只为了折磨上学的孩子而产生的。</p>
<p>而实际上并非如此。每一种新的矛盾的出现，都迫使人们为解决实际的问题而发明新的数学工具，不断扩充数的概念。从一开始的整数，到分数，到有理数，到实数，再到复数，数域的不断扩大，是为了满足人们越来越复杂的计算需求。</p>
<p>整个数学的发展史，就是一次次出现危机，并一次次解决这些危机的历史。这历史读起来惊心动魄，妙趣横生。</p>
<p>这篇文章由于篇幅有限，且考虑到很多人对数学语言不感兴趣，有很多问题没有展开说。比如「所有分数不是有限位小数，就是无限循环小数」的证明，比如微积分如何解决了无理数之谜，比如为什么无理数比有理数多得多（即使有理数的数量已经是无限多），再比如文章最后提到的数系的扩张。</p>
<p>如果你坚持看到这里还觉得有点意思又还不过瘾，那么我强烈推荐两本书，一本是远山启的《数学与生活》，另外一本是张景中的《从√2 谈起》，上述内容在这两本书中都有更详细的阐述，相信你读完一定大呼过瘾，原来数学这么有意思！</p>
<p></p><p></p><p>如果你有孩子在读中学，那么更加建议你买上两本送给他们，一定能燃起他们对数学强烈的兴趣，而不像我们这一代的大多数人，学了「假的数学」。</p>
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